Verallgemeinerung Inklusion/Exklusion von Mengen
Verfasst: 07.02.2011, 10:41
Hallo ich bastel gerade an einer Art Formel für die Mächtigkeit einer Gesamtmenge aus n vereinigten Teilmengen. Dabei kann man ja das Prinzip der Inklusion und Exklusion nutzen (Link).
Der resultierende Satz ist schlüssig aber noch recht abstrakt. Mir ist auch bewusst, dass man das ganze nicht allgemeingültig in eine einfache Formel gießen kann. Mit einfache Formel meine ich hierbei eine Formel, wo ich nicht auf Mengenindizes angewiesen bin, sondern nur konkrete Werte aus der Menge in meiner Formel enthalten sind.
Nun stellt sich mir aber die Frage, ob solche Formeln möglich sind, wenn man die Mengen näher spezifiziert. Genauer gesagt sind die Mächtigkeiten der Schnitte durch Brüche definiert.
Die Mengen sind so geordnet, dass |Mx+1| < |Mx| und |Mx ^ My| = 1/(x*y) gilt. Wobei das ^ hierbei ein Schnitt sein soll. Ferner gilt dadurch auch |Mx ^ My ^ Mz| = 1/(x*y*z) usw.
Der Mengenindex beginnt bei 2. Ich möchte die Vereinigung von allen Mi haben, mit i=2...n. Dabei kann also nicht so etwas wie |M3 u M6| auftreten, sondern die Mengenvereinigungen sollen nur für aufeinanderfolgende Mengen mit M2 als erster Menge möglich sein.
Einfachstes Beispiel wäre nun die Vereinigung von M2 und M3:
|M2 u M3| = |M2| + |M3| - |M2 ^ M3| = x + y - 1/6
Dabei sind x und y bekannt aber in diesem Zusammenhang nicht entscheidend.
Für die Vereinigung bis M4 erhalte ich:
|M2 u M3 u M4| = |M2| + |M3| + |M4| - |M2 ^ M3| - |M2 ^ M4| - |M3 ^ M4| + |M2 ^ M3 ^ M4| = x + y + z - 1/6 - 1/8 - 1/12 + 1/24
Nun meine eigentliche Frage. Gibt es Möglichkeiten, für ein gegebenes n (also der letzte Mengenindex), die Bestandteile außer x, y und z automatisch berechnen zu lassen? Also Formeln die z.B. folgendes vereinfachen:
1/(a*b) + 1/(a*c) + 1/(b*c) = ?/(a*b*c)
oder
1/(x*(x+1)) + 1/(x*(x+2)) + 1/((x+1)*(x+2))
Ich weiß immer folgendes, wenn ein n gegeben ist.
1. Es gibt (n-1) Verknüpfungsebenen: |Mi|, |Mi ^ Mj|, |Mi ^ Mj ^ Mk|, usw.
2. Das Ergebnis ohne x, y, z, ... ist ein Vielfaches von (1/n!).
3. Das Vorzeichen für eine Verknüpfungsebene (siehe 1.) ist stets: (-1) hoch i, wobei i der Index der Verknüpfungsebene (beginnend bei 0) ist.
4. Pro Verknüpfungsebene befinden sich (n i+1) Faktoren im Nenner, wobei hiermit "n über k" gemeint ist, also (n!)/((i+1)! * (n-i-1)!).
Mich interessiert also eine allgemeingültge Formel um (2.) zu berechnen. Dabei würde ich am liebsten nur das n als Parameter übergeben müssen.
Also etwas in der Art f(x) = (?/x!).
Ich wäre auch schon für Lösungsansätze dankbar oder Hinweise auf bestimmte Vereinfachungsmöglichkeiten etc.
Der resultierende Satz ist schlüssig aber noch recht abstrakt. Mir ist auch bewusst, dass man das ganze nicht allgemeingültig in eine einfache Formel gießen kann. Mit einfache Formel meine ich hierbei eine Formel, wo ich nicht auf Mengenindizes angewiesen bin, sondern nur konkrete Werte aus der Menge in meiner Formel enthalten sind.
Nun stellt sich mir aber die Frage, ob solche Formeln möglich sind, wenn man die Mengen näher spezifiziert. Genauer gesagt sind die Mächtigkeiten der Schnitte durch Brüche definiert.
Die Mengen sind so geordnet, dass |Mx+1| < |Mx| und |Mx ^ My| = 1/(x*y) gilt. Wobei das ^ hierbei ein Schnitt sein soll. Ferner gilt dadurch auch |Mx ^ My ^ Mz| = 1/(x*y*z) usw.
Der Mengenindex beginnt bei 2. Ich möchte die Vereinigung von allen Mi haben, mit i=2...n. Dabei kann also nicht so etwas wie |M3 u M6| auftreten, sondern die Mengenvereinigungen sollen nur für aufeinanderfolgende Mengen mit M2 als erster Menge möglich sein.
Einfachstes Beispiel wäre nun die Vereinigung von M2 und M3:
|M2 u M3| = |M2| + |M3| - |M2 ^ M3| = x + y - 1/6
Dabei sind x und y bekannt aber in diesem Zusammenhang nicht entscheidend.
Für die Vereinigung bis M4 erhalte ich:
|M2 u M3 u M4| = |M2| + |M3| + |M4| - |M2 ^ M3| - |M2 ^ M4| - |M3 ^ M4| + |M2 ^ M3 ^ M4| = x + y + z - 1/6 - 1/8 - 1/12 + 1/24
Nun meine eigentliche Frage. Gibt es Möglichkeiten, für ein gegebenes n (also der letzte Mengenindex), die Bestandteile außer x, y und z automatisch berechnen zu lassen? Also Formeln die z.B. folgendes vereinfachen:
1/(a*b) + 1/(a*c) + 1/(b*c) = ?/(a*b*c)
oder
1/(x*(x+1)) + 1/(x*(x+2)) + 1/((x+1)*(x+2))
Ich weiß immer folgendes, wenn ein n gegeben ist.
1. Es gibt (n-1) Verknüpfungsebenen: |Mi|, |Mi ^ Mj|, |Mi ^ Mj ^ Mk|, usw.
2. Das Ergebnis ohne x, y, z, ... ist ein Vielfaches von (1/n!).
3. Das Vorzeichen für eine Verknüpfungsebene (siehe 1.) ist stets: (-1) hoch i, wobei i der Index der Verknüpfungsebene (beginnend bei 0) ist.
4. Pro Verknüpfungsebene befinden sich (n i+1) Faktoren im Nenner, wobei hiermit "n über k" gemeint ist, also (n!)/((i+1)! * (n-i-1)!).
Mich interessiert also eine allgemeingültge Formel um (2.) zu berechnen. Dabei würde ich am liebsten nur das n als Parameter übergeben müssen.
Also etwas in der Art f(x) = (?/x!).
Ich wäre auch schon für Lösungsansätze dankbar oder Hinweise auf bestimmte Vereinfachungsmöglichkeiten etc.