Maximale Steigung einer Ebene

[Xethoras]

Hiho, hab mal wieder Informationsbedarf :D
Gegeben sind 3 Punkte bzw. die daraus konstruierbare Ebene. Gesucht ist die maximale Steigung der Ebene. Also _die_ Linearkombination der beiden Richtungsvektoren, bei der das Verhältnis Y zum Betrag von XZ am größten ist.
Weiß jemand wie das möglichst unkompliziert herauszubekommen ist? (Wenn nicht werde ich mir wahrscheinlich ein Annäherungsverfahren ausdenken müssen...)

[eXile]

Der Gradient der (x,y)-parametrischen Ebenengleichung zeigt immer in Richtung des größsten Anstiegs.

[Gelöschter Benutzer]

Meinst du jetzt die Steigung an sich? Das kommt jetzt so nicht ganz hervor was du nun meinst.

Die Steigung solltest du pro Achse beachten, da Dreidimensional.

Du berechnest einfach als 1. die Normale:

v4 = v2-v1;
v5 = v3-v1;
C = cross(v4, v5)

Und y' = length(C) * (1 - normalize(C).y) ist dann die Steigung der Fläche in LE Einheiten.

Und die größte Steigung aller Dreiecke ermittelst du mittels max(C_0, ..., C_n).

[Xethoras]

@eXile: Ok... ich werd mir dann mal ergooglen wie man einen Gradient bildet^^
@Patrick: cross = kreuzprodukt?

[Jörg]

Der geometrische Ansatz ist sehr einfach:
v1,v2,3 = Dreieckspunkte, N = Normalenvektor der aufgespannten Ebene
1. waehle P1 = v1 als einen Punkt der Geraden
2. schneide die Hilfsgerade (v1 + Ey) + k*(N) mit der Ebene => P2
3. Alle Geraden, die in der Ebene liegen und parallel zu (P1,P2) sind, verlaufen in Richtung des max. Y-Anstieges

Es gibt entweder unendlich viele Loesungen oder keine.

[Xethoras]

Was ist da jetzt Ey? Der Punkt an dem die Ebene die Y-Achse schneidet? und was ist k?

[Jörg]

Ey = Einheitsvektor Y-Richtung (0,1,0)
k ist der Parameter der Geradengleichung (reelle Zahl)